Consigne: Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ montrer que \((a_n)_n\) est décroissante et convergente
Monotonie de l'intégrale sur une puissance de fonction inférieure à \(1\)
On a $$0\leqslant\tan x\leqslant1\implies\tan^{n+1}x\leqslant\tan x$$ donc \((a_n)_n\) est décroissante par monotonie de l'intégrale
TCM
Et donc, puisque \((a_n)_n\) est positive et décroissante, elle converge d'après le théorème de convergence monotone
(Théorème de convergence monotone)